解法：要求$\lim_{x\to1}f$，我们需要分别求出$x$趋近于1时，在两个定义域内的函数值。当$x当$x\geq1$时，根据定义，$f=2x$，因此$\lim_{x\to1^{\tiny+}}f=\lim_{x\to1^{\tiny+}}2x=2\cdot1=2$。由于$\lim_{x\to1^{\tiny-}}f=1\neq\lim_{x\to1^{\tiny+}}f=2$，所以$\lim_{x\to1}f$不存在。换句话说，分段函数$f$在$x=1$处的极限不存在。
以下是一个分段函数求极限的例题:
设函数$f(x)$如下定义：
$$
f(x) =
\begin{cases}
x^2, & \text{如果}\ x < 1 \\
2x, & \text{如果}\ x \geq 1 \\
\end{cases}
$$
求$\lim_{x \to 1} f(x)$。
解法：
要求$\lim_{x \to 1} f(x)$，我们需要分别求出$x$趋近于1时，在两个定义域内的函数值。
当$x < 1$时，根据定义，$f(x) = x^2$，因此$\lim_{x \to 1^{\tiny-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{\tiny-}} x^2 = 1^2 = 1$。
当$x \geq 1$时，根据定义，$f(x) = 2x$，因此$\lim_{x \to 1^{\tiny+}} f(x) = \lim_{x \to 1^{\tiny+}} 2x = 2 \cdot 1 = 2$。
由于$\lim_{x \to 1^{\tiny-}} f(x) = 1 \neq \lim_{x \to 1^{\tiny+}} f(x) = 2$，所以$\lim_{x \to 1} f(x)$不存在。
换句话说，分段函数$f(x)$在$x=1$处的极限不存在。